sábado, 14 de diciembre de 2013

Tangencias, problema 10 de Apolonio "CCC"

Circunferencias de radio desconocido que son tangentes a tres circunferencias dadas:

1. Datos:

2. Reducción de las tres circunferencias la magnitud del radio de la circunferencia menor. En este punto los nuevos datos con los que trabajamos son : el punto O1, la circunferencia C2 (verde) y la circunferencia C3 (verde); el ejercicio en este punto se resuelve como el problema de Apolonio nº 8, PCC.

3. Inversión de centro O1, donde la circunferencia de centro O2 se transforma en ella misma:



4. Figura inversa de la circunferencia C3 (verde fina): para ello hallamos el inverso del punto P, P' y trazamos una circunferencia (verde de trazo grueso) que pasa por P', y por los puntos dobles de intersección de C3 con la cpd.


5. Resolvemos el problema de rectas tangentes comunes a dos circunferencias, de estas rectas sólo vamos a escoger una de ellas, la tangente común exterior superior:


6. La recta tangente común escogida es la recta naranja:


7. Figura inversa a la recta tangente naranja, es la circunferencia de centro OS y que pasa por los inversos de T2' y T3': T2 y T3 y por el centro de inversión O1, en este dibujo vemos cómo se han hallado los inversos T2 y T3:


8. En este dibujo se ha trazado la circunferencia que pasa por T2, T3 y O1, además se ha hallado el centro OS:


9. Y, por último, hemos reducido la magnitud del radio R1 y obtenemos la solución:


Este problema tiene hasta otras 7 soluciones posibles. (dependiendo del resto de tangentes que podríamos haber escogido y de haber dilatado las circunferencias C2 y C3 la magnitud del radio de la circunferencia C1)



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